Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6 - Tập một | Chuyên đề | Chuyên đề 2: So sánh luỹ thừa Dạng 2. So sánh các tổng lũy thừa | Học liệu thông minh

Ví dụ. a) Cho $S=1+2+2^{\tiny 2}+2^{\tiny 3}+\ldots+2^{\tiny 10}$ . So sánh $S$ và $5 \cdot 2^{\tiny 9}$ . b) Cho $A=1+2~022+2~022^{\tiny 2}+\ldots+2~022^{\tiny 49}+2~022^{\tiny 50}$ và $B=2~022^{\tiny 51}-1$ . So sánh $A$ và $B$ . c) Cho $T=\dfrac{1}{4^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{6^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{8^{\tiny 2}}+\ldots+\dfrac{1}{(2 \cdot n)^{\tiny 2}}$ với $n \in \mathbb{N}^{\tiny *}$ . So sánh $T$ và $\dfrac{1}{4}$ .
Lời giải
a) $S=1+2+2^{\tiny 2}+2^{\tiny 3}+\ldots+2^{\tiny 10}$ . $2 S=2+2^{\tiny 2}+2^{\tiny 3}+\ldots .+2^{\tiny 10}+2^{\tiny 11} \Rightarrow 2 S-S=2^{\tiny 11}-1<2^{\tiny 11}=4 \cdot 2^{\tiny 9}<5 \cdot 2^{\tiny 9} .$ Vậy $S<5 \cdot 2^{\tiny 9}$ . b) Ta có: $A=1+2~022+2~022^{\tiny 2}+\ldots+2~022^{\tiny 49}+2~022^{\tiny 50}$ $\Rightarrow 2~022 \cdot A=2~022+2~022^{\tiny 2}+2~022^{\tiny 3}+\ldots+2~022^{\tiny 50}+2~022^{\tiny 51} \\ \Rightarrow 2~022 \cdot A-A=2~022^{\tiny 51}-1 \Rightarrow 2~021 \cdot A=2~022^{\tiny 51}-1 \\ \Rightarrow A=\dfrac{2~022^{\tiny 51}-1}{2~021}<2~022^{\tiny 51}-1=B .$ Vậy $A<B$ . c) Ta có: $T =\dfrac{1}{4^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{6^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{8^{\tiny 2}}+\ldots+\dfrac{1}{(2 \cdot n)^{\tiny 2}} \\ =\dfrac{1}{(2 \cdot 2)^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{(2 \cdot 3)^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{(2 \cdot 4)^{\tiny 2}}+\ldots+\dfrac{1}{(2 \cdot n)^{\tiny 2}} \\ =\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{3^{\tiny 2}}+\dfrac{1}{4^{\tiny 2}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{\tiny 2}}\right)<\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1 \cdot 2}+\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\dfrac{1}{(n-1) \cdot n}\right) \\ =\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) \\ =\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)<\dfrac{1}{4} .$ Vậy $T<\dfrac{1}{4}$ với $n \in \mathbb{N}^{\tiny *}$ .
Đáp án
1/1