Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6 - Tập một | Chương I SỐ TỰ NHIÊN | Chủ đề 5: Số nguyên tố. Hợp số Bài 4

a) Cho

p

và

p+4

là các số nguyên tố

(p>3)

. Chứng minh rằng

p+8

là hợp số.

Bài giải

b) Cho

p

và

2 p+1

là các số nguyên tố

(p>3)

. Chứng minh rằng

4 p+1

là hợp số.

c) Cho

p

và

8 p^{\tiny 2}-1

là các số nguyên tố

(p>3)

. Chứng minh rằng

8 p^{\tiny 2}+1

là hợp số.

Đáp án

Giải thích

a) Vì

p>3

mà

p

là số nguyên tố nên

p

có dạng

3 k+1

hoặc

3 k+2

với

k \in \mathbb{N}^{\tiny *}.

Nếu

p=3 k+2

thì

p+4=3 k+6=3~(k+2)

chia hết cho

3

và

p+4>3

nên

p+4

là hợp số, trái với đề bài. Do đó

p=3 k+2

không thoả mãn nên

p=3 k+1

. Với

p=3 k+1

thì

p+8=3 k+9=3~(k+3)

chia hết cho

3

và

p+8>3

nên

p+8

là hợp số (điều phải chứng minh). b) Vì

p>3

mà

p

là số nguyên tố nên

p

có dạng

3 k+1

hoặc

3 k+2

với

k \in \mathbb{N}^{\tiny *}.

Nếu

p=3 k+1

thì

2 p+1=6 k+3=3~(2 k+1)

chia hết cho

3

và

2 p+1>3

nên

2 p+1

là hợp số, trái với đề bài. Do đó

p=3 k+1

không thoả mãn nên

p=3 k+2

. Với

p=3 k+2

thì

4 p+1=12 k+9=3~(4 k+3)

chia hết cho

3

và

4 p+1>3

nên

4 p+1

là hợp số (điều phải chứng minh). c) Vì

p>3

mà

p

là số nguyên tố nên

8 p^{\tiny 2}

không chia hết cho

3

. Ta có:

8 p^{\tiny 2}-1,8 p^{\tiny 2}, 8 p^{\tiny 2}+1

là ba số tự liên tiếp lớn hơn

3

nên có một số chia hết cho

3

mà

8 p^{\tiny 2}-1,8 p^{\tiny 2}

là hai số không chia hết cho

3

. Do đó

8 p^{\tiny 2}+1

chia hết cho

3.

Vì vậy

8 p^{\tiny 2}+1

là hợp số.

1/1